2.1 Conceptos Básicos.
Análisis Reticular
El análisis de redes o análisis reticular ("network analysis" en inglés) designa una orientación en la investigación social que se ha venido desarrollando, sobre todo en los países anglosajones, desde mediados los años sesenta.
Es difícil, en el corto espacio del que disponemos, establecer con claridad las dimensiones de esta perspectiva de investigación: por una parte, se trata de un conjunto de técnicas, por otra de una metodología y, consecuentemente, de un paradigma científico. Lo que hace difícil delimitarlo es, ante todo, que no se trata de un movimiento intelectual limitado a una ciencia social particular, sino que se extiende, prácticamente, al conjunto de las ciencias sociales.
Postulados básicos
El análisis reticular en sociología comparte con el desarrollado en otras ciencias sociales un cierto número de preocupaciones básicas:
1.- El análisis reticular se encuadra en una sociología estructural: su principal objetivo es la búsqueda de las determinaciones estructurales de la acción humana, y no de las motivaciones individuales o colectivas de los individuos.
2.- El concepto de estructura, implícito o explícito, utilizado en las investigaciones reticulares presupone que las estructuras se manifiestan en la forma de los VÍNCULOS ("ties") existentes entre los elementos o NODOS diferenciados que integran un sistema social, siendo estos nodos "actores sociales" o cualquier tipo de entidades sociales significativas (individuos, grupos, organizaciones, clases). Las REDES SOCIALES son pues CONJUNTOS DE VÍNCULOS ENTRE NODOS.
3.- Los conjuntos de vínculos entre entidades sociales constituyen los datos básicos del análisis reticular: la estructura buscada se concibe como pautas o regularidades en las formas de vinculación que emergen en los conjuntos relacionales como consecuencia de –un análisis: la estructura de las relaciones no es directamente observable en los datos, que son de naturaleza compleja e incoherente en su apariencia inmediata.
4.- El análisis relacional presupone que las características estructurales de las redes de relaciones sociales descubiertas en el curso del análisis determinan los comportamientos de los individuos implicados en ellas.
5.- Por ello, el análisis reticular concibe los sistemas sociales como redes de relaciones sociales, más que como conjunto de individuos cuya conducta está regularizada por conjunto de normas y valores interiorizados, por atributos individuales o por meras relaciones diádicas (la interacción de la psicología social). Los VÍNCULOS no son necesariamente diadicos y el análisis reticular considera los VÍNCULOS ENTRE VÍNCULOS como un elemento esencial de la estructura.
6.- Así, el análisis reticular de un sistema social es, ante todo, el de un conjunto estructurado de posiciones sociales: el concepto de rol aparece como una variable dependiente de la posición misma y no como la que designa las unidades significativas de los sistemas sociales. En consecuencia, las dimensiones valorativas y normativas de la conducta son, para el análisis reticular, como las demás dimensiones de la motivación, más bien efectos que causa.
7.- Los vínculos entre los nodos que definen un retículo social son, en buena parte de las investigaciones concretas realizadas hasta hoy, flujos de información, de bienes o de influencia. Por ello las estructuras sociales descritas diferencian posiciones relativamente a esas dimensiones.
Instrumentos analíticos
Las técnicas de análisis empleadas en las investigaciones reticulares presentan características diferenciales respecto a las técnicas usuales de investigación social. Estas diferencias se derivan del objeto mismo que se analiza
En efecto, las REDES de relaciones sociales son CONJUNTOS DE VÍNCULOS entre entidades y no conjunto de entidades o individuos. Por ello, las técnicas estadísticas usuales no son adecuadas para el análisis reticular, ya que postulan el carácter aleatorio de las relaciones inter-individuales al considerar conjuntos de individuos atomizados, elegidos aleatoriamente por los procedimientos de muestreo
Las técnicas estadísticas usuales conllevan una concepción categorial y distributiva de las estructuras: sus resultados son siempre distribuciones –uni o multivariadas- de atributos individuales. Y cuando se examinan distribuciones de categoría agregadas de atributos tampoco se analizan directamente relaciones sociales, sino sus efectos sobre las variables atributivas.
Además, al desdeñar las vinculaciones concretas entre los individuos, las técnicas usuales de análisis sólo pueden explicar la acción colectiva atribuyendo a las normas interiorizadas un papel causal desmesurado.
Por todo ello, el análisis reticular ha buscado instrumentos heurísticos y de formalización en formas de pensamiento matemático ajenas a la estadística. Primero, en la TEORIA DE GRAFOS, sector de la teoría matemática poco formalizado, muy descriptivo y que se incluye en la topología. Pero después ha encontrado inspiración en teorías algebraicas abstractas como la teoría de semigrupos. Finalmente, la teoría de las categorías y desarrollos topológicos como la teoría de los complejos simpliciales han visto en el análisis de redes sociales un inesperado campo de aplicación y desarrollo.
Una de las dimensiones más interesantes del pensamiento reticular en sociología estriba, precisamente, en el desarrollo de instrumentos matemáticos propios en lugar de la aplicación a su propio campo de conceptos forjados en problemáticas empíricas muy alejadas: así puede concebirse el esfuerzo realizado por la "escuela de Harvard" y, en particular, por los trabajos de FRANCOIS LORRAIN. Características estructurales de las redes Las redes de relaciones sociales se han analizado mediante el uso de conceptos de:
Ambos conceptos están destinados a poner en evidencia singularidades estructurales, puntos de particular significación o conjuntos de puntos asimilables entre ellos. Pero su empleo exige la definición de medidas adecuadas, cuyo desarrollo ha llevado a plantearse con mayor rigor la problemática de las variaciones locales en la densidad relacional. Para resolver el problema se han aplicado conceptos de la teoría de grafos, como entre otros, el de la longitud de los caminos más cortos entre dos puntos.
Existen hoy numerosas definiciones de la centralidad y de su medida, como de las cliques o conglomerados y de la heurística que lleva a su detección. Sin embargo, en el curso de las investigaciones empíricas ha acabado por emerger (LORRAIN y WHITE, 1971) el concepto de equivalencia estructural en las redes: dos individuos o NODOS SON ESTRUCTURALMENTE EQUIVALENTES CUANDO SUS RELACIONES CON TODOS LOS DEMAS PUNTOS SON IDENTICAS.
El concepto de equivalencia estructural permite identificación de todos los nodos equivalentes, constituye, por así decirlo, el esqueleto de la red analizada: se llaman POSICIONES los nodos de una red reducida mediante la aplicación de este concepto de equivalencia estructural. El concepto de equivalencia estructural desarrollado por Lorrain y White se traduce en una metodología de difícil aplicación para redes formadas por números sustanciales de nodos, ya que acude al análisis de categorías para la identificación de las vinculaciones compuestas –vinculaciones entre vinculaciones- de orden N, siendo N el número total de nodos existentes en la red. El análisis de la COMPOSICION de LAS RELACIONES exige un elevado volumen de cálculo, que para redes de 1000 nudos sigue siendo irrealizable a pesar del aumento de capacidad y de velocidad de los ordenadores electrónicos. Por ello se han desarrollado conceptos menos exigentes de equivalencia estructural, como el de los BLOCKMODELS de Breiger, Boormar y White (1976) que desemboco en algoritmos para el análisis de la equivalencia aplicables a redes de centenares de nodos.
No es posible detenerse aquí en un examen de los conceptos y los métodos desarrollados hasta hoy para el análisis de las redes de relaciones sociales: cabe afirmar que las diferentes formalizaciones matemáticas y empíricas son menos significativas en el devenir de esta problemática que su insistencia en definir el objeto de la investigación sociológica como de naturaleza intrínsecamente relacional, desde los datos básicos que se acumulan hasta los resultados de sus análisis.
Antecedentes del análisis de redes
La insistencia en el carácter relacional del objeto de la sociología, como buena parte de los postulados comunes a las investigaciones reticulares contemporáneas tiene antecedentes que llegan hasta los orígenes de la sociología: para muchos sociólogos, se pueden encontrar en DURKHEIM, en SIMMEL, o en el mismo MARX; para los antropólogos, el concepto de red de relaciones sociales se identifica con el objeto mismo de sus investigaciones empíricas, como evidencian los trabajos de NADEL o de BARNES. Los psicosociólogos encuentran en la sociometría de MORENO el indiscutible origen de la problemática del análisis reticular...
Es indudable que el pensamiento estructural en las ciencias sociales está asociado desde sus orígenes a la búsqueda regularidades en las redes de relaciones sociales, que estas regularidades en las formas de relación han sido concebidas como factores causales en la conducta individual o colectiva. No es menos indudable que la componente estructural en el pensamiento sociológico no ha desaparecido en los avatares de una historia en gran parte cíclica. Por ello, la principal novedad del análisis reticular estriba ante todo en la decidida voluntad de construir modelos matemáticos de las propiedades de los espacios reticulares en los que se dibujan las estructuras sociales.
Siendo una voluntad modesta, es esta una contribución de capital importante al desarrollo de la sociología, como lo fue para la física la construcción matemática del espacio continuo y tridimensional en el que se podían definir con rigor las posiciones y los desplazamientos de los cuerpos. El concepto de posición de un punto es indispensable para describir el más simple de los fenómenos de la física clásica: el cambio de posición.
Pero el concepto de posición solo se construye con rigor en física con el cálculo diferencial. La construcción de un concepto de posición en sociología va a requerir construir un espacio con propiedades peculiares respecto al de la física: discreto, discontinuo y relacional, el espacio propio de los sistemas sociales exige una matemática propia y no la mera aplicación de unos instrumentos analíticos desarrolladas para la física, para un espacio continuo o infinito.
Limitaciones del análisis reticular
Por el momento al menos, las investigaciones inspiradas en la perspectiva del análisis de redes tienen dos limitaciones de capital importancia: son fundamentalmente estáticas y descriptivas.
La introducción de una problemática temporal en el análisis reticular conlleva, aún manteniendo el carácter descriptivo de las investigaciones empíricas, sustanciales ventajas para la definición de los criterios de invariancia y de regularidad estructurales. Sin embargo, no es una tarea sencilla ni en sus dimensiones teóricas ni prácticas: hay que articular lo diacrónico y lo histórico en la elaboración de los paradigmas de investigación empírica y tener en cuenta esta articulación en la elaboración de conceptos matemáticas. En gran medida, estas tareas no han sido aún siquiera abordadas, peses a que existan elementos dispersos que las faciliten.
Pero se puede afirmar que cuando se construya un espacio reticular en el que se puedan definir estructuras sociales y, sin cambiar de paradigma ni de conceptos, sus transformaciones históricas, se estará en condiciones de plantear con rigor la problemática de una sociología científica, a la vez estructural e histórica.
DEFINICIÓN Y APLICACIÓN DEL MODELO DE TRANSPORTE
El modelo de transporte busca determinar un plan de transporte de una mercancía de varias fuentes a varios destinos. Los datos del modelo son:
1. Nivel de oferta en cada fuente y la cantidad de demanda en cada destino.
2. El costo de transporte unitario de la mercancía a cada destino.
Como solo hay una mercancía un destino puede recibir su demanda de una o más fuentes. El objetivo del modelo es el de determinar la cantidad que se enviará de cada fuente a cada destino, tal que se minimice el costo del transporte total.
La suposición básica del modelo es que el costo del transporte en una ruta es directamente proporcional al numero de unidades transportadas. La definición de “unidad de transporte” variará dependiendo de la “mercancía” que se transporte.
El esquema siguiente representa el modelo de transporte como una red con m fuentes y n destinos. Una fuente o un destino esta representado por un nodo, el arco que une fuente y un destino representa la ruta por la cual se transporta la mercancía. La cantidad de la oferta en la fuente i es ai, y la demanda en el destino j es bj. El costo de transporte unitario entre la fuente i y el destino j es Cij.
Si Xi j representa la cantidad transportada desde la fuente i al destino j, entonces, el modelo general de PL que representa el modelo de transporte es:
Minimiza Z= S i=1 m S j=1 n C i j X i j
Sujeta a:
S j=1 n X i j <= ai , i=1,2,…, m
S i=1 m X I j >= bj , j=1,2,…, n
X i j >=0 para todas las i y j
El primer conjunto de restricciones estipula que la suma de los envíos desde una fuente no puede ser mayor que su oferta; en forma análoga, el segundo conjunto requiere que la suma de los envios a un destino satisfaga su demanda.
El modelo que se acaba de escribir implica que la oferta total Si=1 m ai debe ser cuando menos igual a la demanda total Sj=1 n bj. Cuando la oferta total es igual a la demanda total, la formulación resultante recibe el nombre de modelo de transporte equilibrado. Este difiere del modelo solo en el hecho de que todas las restricciones son ecuaciones, es decir:
SX i j = ai, i=1,2,..., m
SX i j = bj, j=1,2,..., n
En el mundo real, no necesariamente la oferta debe ser igual a la demanda o mayor que ella. Sin embargo, un modelo de transporte siempre puede equilibrarse. El equilibrio, además de su utilidad en la representación a través de modelos de ciertas situaciones prácticas, es importante para el desarrollo del método de solución que explote completamente la estructura especial del modelo de transporte. Los dos ejemplos que siguen presentan la idea del equilibrio y también sus implicaciones prácticas.
Ejemplo 1 (Modelo de transporte estándar)
MG Auto Company tiene plantas en Los Ángeles, Detroit y Nueva Orleáns. Sus centros de distribución principales son Denver y Miami. Las capacidades de las plantas durante el trimestre próximo son 1 000, 1 500, y 1 200 automóviles. Las demandas trimestrales en los dos centros de distribución son de 2 300 y 1 400 vehículos. El costo del transporte de un automóvil por tren es de 8 centavos por milla. El diagrama de las distancias recorridas entre las plantas y los centro de distribución son:
| Denver | Miami | |
| Los Ángeles | 1 000 | 1 690 |
| Detroit | 1 250 | 1 350 |
| Nueva Orleans | 1 275 | 850 |
Esto produce en costo por automóvil a razón de 8 centavos por milla recorrida. Produce los costos siguientes (redondeados a enteros), que representan a C i j del modelo original:
| Denver | Miami | |
| Los Ángeles | 80 | 215 |
| Detroit | 100 | 108 |
| Nueva Orleans | 102 | 68 |
Mediante el uso de códigos numéricos que representan las plantas y centros de distribución, hacemos que X i j represente el número de automóviles transportados de la fuente i al destino j. Como la oferta total ( = 1 000 + 1 500 + 1 200 = 3 700) es igual a la demanda ( = 2 300 + 1 400 = 3 700), el modelo de transporte resultante esta equilibrado. Por lo tanto, el siguiente modelo de PL que representa el problema tiene todas las restricciones de igualdad.
Minimizar Z = 80X 11 + 215X 12 + 100X 21 + 108X 22 + 102X 31 + 68X 32
Sujeto a:
S j=1 n X i j <= ai , i=1,2,…, m
S i=1 m X I j >= bj , j=1,2,…, n
X i j >=0 para todas las i y j
Un método mas resumido para representar el modelo de transporte consiste en utilizar lo que se llama tabla de transporte. Esta es una forma de matriz donde sus renglones representan las fuentes y sus columnas los destinos. Los elementos de costo C i j se resumen en la esquina noroeste de la celda de la matriz (i, j). Por lo tanto, el modelo de MG se puede resumir en la tabla siguiente:
Ejemplo 2 (Modelo de transporte con equilibrio)
En el ejemplo anterior suponga que la capacidad de la planta de Detroit es de 1 300 automóviles (en vez de 1 500). Se dice que la situación esta desequilibrada debido a que la oferta total (=3 500) no es igual a la demanda total (=3 700).Nuestro objetivo consiste en volver a formular el modelo de transporte de manera que distribuya la cantidad faltante(=3 700 – 3 500 = 200) en forma optima entre los centros de distribución.
Como la demanda es mayor que la oferta se puede agregar una planta ficticia con una capacidad de 200. Se permite que dicha planta, en condiciones normales, envíe su “producción“ a todos los centros de distribución. Físicamente, la cantidad de unidades enviadas a un destino desde una planta ficticia representará la cantidad faltante en ese destino.
La única información que falta para completar el modelo son los “costos de transporte” unitarios de la planta ficticia a los destinos. Como la planta no existe, no habrá ningún envío físico y el costo de transporte unitario es cero. Sin embargo, podemos enfocar la situación desde otro ángulo diciendo que se incurre en un costo de penalización por cada unidad de demanda insatisfecha en los centros de distribución. En este caso los costos de transporte unitarios serán iguales a los costos de penalización unitarios en los diversos destinos.
| Denver | Miami | ||
| Los Ángeles | 80 | 215 | 1 000 |
| Detroit | 100 | 108 | 1 300 |
| Nueva Orleáns | 102 | 68 | 1 200 |
| Planta ficticia | 0 | 0 | 200 |
De manera análoga, si la oferta en mayor que la demanda podemos añadir un destino ficticio que absolverá la diferencia. Por ejemplo, suponga que la demanda en Denver disminuye a 1 900cualquier automóvil enviado de una planta a un centro de distribución ficticio representa un excedente en la planta.
| Denver | Miami | Destino Ficticio | ||
| Los Ángeles | 80 | 215 | 0 | 1 000 |
| Detroit | 100 | 108 | 0 | 1 500 |
| Nueva Orleans | 102 | 68 | 0 | 1 200 |
La aplicación del modelo de transporte no se limita al problema de “transporte”.
El siguiente ejemplo ilustra el uso del modelo del transporte en otros campos.
Ejemplo 3 (Modelo de inventario de producción)
Una compañía construye una planta maestra para la producción de un articulo en un periodo de cuatro meses. Las demandas en los cuatro meses son: 100, 200, 180 y 300 unidades. Una demanda para el mes en curso puede satisfacerse a través de:
1. Producción excesiva en un mes anterior almacenada para su consumo posterior.
2. Producción en el mes actual.
3. Producción excesiva en un mes posterior para cubrir pedidos de meses anteriores.
El costo de producción variable por unidad en un mes cualquiera es de $4.00. una unidad producida para consumo posterior incurrirá en un costo de almacenamiento razón de $0.50 por unidad por mes. Por otra parte, los artículos ordenados en meses anteriores incurren en un costo de penalización de $2.00 por unidad por mes. La capacidad de producción para elaborar el producto varía cada mes. Los cálculos de los cuatro meses siguientes son 50, 180, 280 y 270 unidades, respectivamente.
El objetivo es el de formular el plan de inventario de producción a costo mínimo. Este problema se puede formular como un modelo de “transporte”. La equivalencia entre los elementos de los sistemas de producción y transporte se establece de la manera siguiente:
| Sistema de Transporte | Sistema de Producción |
| 1. Fuente i | 1. Periodo de producción i |
| 2. Destino j | 2. Periodo de demanda j |
| 3. Oferta en la fuente i | 3. Capacidad de producción del periodo i |
| 4. Demanda en el destino j | 4. Demanda del periodo j |
| 5. Costo de transporte de la fuente i al destino j | 5. Costo de producto e inventario del periodo i al j |
En tabla de abajo se presenta un resumen del problema como un modelo de transporte:
| Periodo | ||||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | Capacidad | ||
| Demanda | 1 | 4 | 4.5 | 5 | 5.5 | 50 |
| 2 | 6 | 4 | 4.5 | 5 | 180 | |
| 3 | 8 | 6 | 4 | 4.5 | 280 | |
| 4 | 10 | 8 | 6 | 4 | 270 | |
| Demanda: | 100 | 200 | 180 | 300 | ||
El costo de “transporte” unitario del periodo i al j es:
Costo de producción en i, i=j
C i j = Costo de producción en i / costo de almacenamiento en i a j i<j
Costo de producción en i / costo de penalización en i a j i>j
La definición de C i j indica que la producción en el periodo i para el mismo periodo (i = j) sólo iguala el costo unitario de producción. Si el periodo i se produce para periodos futuros j (i < j), se incurre en un costo de almacenamiento adicional. De la misma manera, la producción en i para cubrir j pedidos hechos con anterioridad (i > j) incurre en un costo de penalización adicional.
PROBLEMAS DE ASIGNACIÓN (Método Hungaro)
Un problema de asignación es un problema de transporte balanceado, en el cual todas las ofertas y todas las demandas son iguales a uno. Se puede resolver eficientemente un problema de asignación m x m mediante el método Húngaro:
o Paso 1.- Empiece por encontrar el elemento mas pequeño en cada renglón de la matriz de costos. Construya una nueva matriz, al restar de cada costo, el costo mínimo de su renglón. Encuentre, para esta nueva matriz el costo mínimo en cada columna. Construya una nueva matriz ( la matriz de costos reducidos ) al restar de cada costo el costo mínimo de su columna.
o Paso 2.- Dibuje el mínimo numero de líneas (horizontales o verticales ) que se necesitan para cubrir todos los ceros en la matriz de costos reducidos. Si se requieren m líneas para cubrir todos los ceros, siga con el paso 3.
o Paso 3.- Encuentre el menor elemento no cero (llame su valor k en la matriz de costos reducidos, que no esta cubiertos por las líneas dibujadas en el paso 2. Ahora reste k de cada elemento no cubierto de la matriz de costos reducidos y sume k a cada elemento de la matriz de costos reducidos cubierto por dos líneas. Regrese al paso 2.
Un problema de asignación es un problema de transporte balanceado en el que todas las ofertas y demandas son iguales a 1; así se caracteriza por el conocimiento del costo de asignación de cada punto de oferta a cada punto de demanda. La matriz de costos del problema de asignación se llama: matriz de costos.
Como todas las ofertas y demandas para el problema de asignación son números enteros, todas las variables en la solución óptima deben ser valores enteros.
EJEMPLOS DE PROBLEMAS DE ASIGNACION
1. Una empresa ha contratado a 4 individuos para 4 trabajos, los 4 individuos y 4 trabajos pueden mostrarse en una tabla que indique las clasificaciones obtenidas, analizando al individuo para cada trabajo. Los renglones se refieren a los hombres, mientras que las columnas se refieren a los trabajos; el problema consiste en maximizar las calificaciones para asignar los 4 trabajos.
Se supone que las calificaciones de un individuo es directamente proporcional a la ganancia que obtendría la compañía si ese individuo se encargara del trabajo.
2. Otro problema que utiliza la misma estructura del modelo de transporte, es la asignación de camiones para reducir al mínimo los costos de un problema de asignación.
3. Una empresa cubre el territorio nacional con dos camiones especialmente equipados para funcionar en condiciones climatológicas específicas. La empresa ha dividido en cinco regiones geográficas. Se compra el camión A y se modifica para que funcione eficientemente en las regiones uno y dos, y para que funcione bastante bien en las regiones tres y cuatro. El mismo camión no funciona bien en la región cinco. Los gastos de gasolina, mantenimiento y otros costos directos de operación, serían mínimos en las regiones uno y dos, promedio en las regiones tres y cuatro, y altos en la región cinco. Se tiene esa misma información con respecto a los demás camiones de la compañía, o sea, los tipos B, C y D.
SOLUCION DEL PROBLEMA DE TRANSPORTE.
En esta sección presentamos los detalles para resolver el modelo de transporte.
TECNICA DE TRANSPORTE.
Los pasos básicos de la técnica de transporte son:
Paso 1: determínese una solución factible.
Paso 2: determínese la variable que entra, que se elige entre las variables no básicas. Si todas estas variables satisfacen la condición de optimidad (del método simplex), deténgase; de lo contrario, diríjase al paso 3.
Paso 3: determínese la variable que sale (mediante el uso de la condición de factibilidad) de entre las variables de la solución básica actual; después obténgase la nueva solución básica. Regrese al paso 2.
OBTENCIÓN DE SOLUCIONES BÁSICAS FACTIBLES PARA PROBLEMAS DE TRANSPORTES
Podemos obtener una solución básica factible (sbf) para un problema de transporte balanceado mediante el método de la esquina Noroeste, el método de costo mínimo, o el método de Vogel.
Para obtener una sbf mediante el método de la esquina noroeste, empiece en la esquina superior izquierda del cuadro del transporte y haga a X11 lo más grande posible.
Naturalmente, X11 no puede ser mayor que el menor valor Si y así X11 S1 tache el primer renglón del cuadro de transporte; Esto indica que si habrá más variables básicas del renglón 1 del cuadro. También d1-S1 . Si X11=d1, tache la primera la columna del cuadro de transporte y cambie S1 – d1.
Si X11= S1 = d1, tache o el renglón 1, o la columna 1 (pero no ambos), del cuadro de transporte. Si tacha el renglón 1, cambie d1 por cero; si tacha columna 1, cambie S 1 por 0.
Continúe aplicando este procedimiento a la celda mas noroeste del cuadro que no cae en un renglón eliminado o en una columna eliminada.
Finalmente, llegara un momento en el cual solo queda una celda a la cual se puede asignar un valor.
Asigne a esta celda un valor igual a la oferta de su renglón o a la demanda de su columna, y tache el renglón y la columna de la celda. Se obtiene de esta manera una solución básica factible.
OBTENER LA SOLUCIÓN ÓPTIMA PARA UN PROBLEMA DE TRANSPORTE
Paso 1: Si el problema no está balanceado, balancéelo.
Paso 2: Utilice uno de los métodos descritos anteriormente para obtener una solución básica factible.
Paso 3: Utilice el hecho de que U1=0, y Ui+Vj=Cij en todas las variables básicas para encontrar (U1,U2...Um V1,V2...Vn) para la sbf actual.
Paso 4: Si Ui + Vj – Cij es menor o igual a cero, para todas las variables no básicas, entonces la sbf actual es óptima. Si no es así se introduce la variable con valor más positivo de Ui + Vj –Cij en la base. Para hacer esto, encuentre un circuito cerrado (se puede demostrar que solamente existe un circuito cerrado) que contiene la variable que entra y algunas de las variables básicas. Después, tomando en cuenta solamente las celdas en el circuito cerrado marque las que se encuentren alejadas en número par (0,2,4,6,...) de celdas de la variable que entra como celdas pares. También marque las celdas en el circuito cerrado, que se encuentra un número impar de celdas de la variable que entra como celdas impares. Ahora encuentre la celda impar cuya variable toma el menor valor. Llame este valor teta. La variable correspondiente a esta celda impar saldrá de la base. Para realizar el pivoteo, disminuye el valor de cada celda impar en teta y aumenta el valor de cada celda par en teta. Los valores de las variables que no se encuentran en el circuito cerrado permanecen sin cambio. Ahora se completó el bloqueo.
Sí teta es igual a cero, la variable que entra será igual a cero, y una variable impar que tiene un valor actual de cero, saldrá de la base. En este caso, existía un sbf degenerada antes del pivoteo y resultará después del pivoteo.
Si más de una celda impar en el circuito cerrado es igual a teta. Puede escoger arbitrariamente una de estas celdas impares para que salga de la base; se obtendrá una vez más una sbf degenerada. El pivoteo produce una nueva sbf.
Paso 5: Regrese a los pasos 3 y 4, utilizando la nueva sbf. Para un problema de maximización, proceda como se especificó, pero cambie el paso 4 por el paso 4’.
Paso 6: Si Ui + Vj –Cij es mayor o igual a cero, para todas las variables no básicas, entonces, la sbf actual es óptima. De otra manera, coloque la variable con el valor más negativo de Ui + Vj – Cij en la base mediante el procedimiento de pivoteo.
METODO DE ESQUINA NOROESTE
Determinación general del modelo de transporte requiere que:
m n
å ai = å bj
i=1 j = 1
Este requisito da origen a una ecuación dependiente, lo que significa que el modelo de transporte tiene sólo m + n –1 ecuaciones independientes. Por lo tanto, como en el método simplex, una solución factible básica inicial debe incluir m + n – 1 variables básicas.
Normalmente, si el modelo de transporte se formula como una tabla simplex, sería necesario utilizar variables artificiales para asegurar una solución básica inicial. Sin embargo, cuando se utiliza la tabla de transporte, una solución factible básica inicial se puede obtener fácil y directamente. Presentamos un procedimiento llamado regla de la esquina noroeste para este fin.
| Destino | ||||||||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | Oferta | ||||||
| Fuente | 1 | 10 | 0 | 20 | 11 | 15 | ||||
| X11 | X12 | X13 | X14 | |||||||
| 2 | 12 | 7 | 9 | 20 | 25 | |||||
| X21 | X22 | X23 | X24 | |||||||
| 3 | 0 | 14 | 16 | 18 | 5 | |||||
| X31 | X32 | X33 | X34 | |||||||
| Demanda | 5 | 15 | 15 | 10 | ||||||
El método de la esquina noroeste comienza con la asignación de la máxima cantidad admisible através de la oferta y la demanda de la variable x11 (la de la esquina noroeste de la tabla). Después se tacha la columna (renglón) satisfecha, lo que indica que las variables restantes de la columna (renglón) tachada son iguales a cero. Si se satisfacen una columna y un renglón al mismo tiempo, sólo una (una u otro) puede ser tachado. (Esta condición garantiza la ubicación automática de variables básicas cero, si las hay). Después de ajustar las cantidades de oferta y demanda de todos los renglones y columnas no tachados, la cantidad factible máxima se asigna al primer elemento no tachado de la nueva columna (renglón). El proceso se completa cuando se deja sin tachar exactamente un renglón o una columna.
El procedimiento que se acaba de describir se aplica ahora en el ejemplo:
1. x11 = 5, se tacha la columna 1. Por lo tanto, no se puede hacer otra asignación en la columna 1. La cantidad que falta en el renglón 1 son 10 unidades.
2. x12 = 10, se tacha el renglón 1 y faltan 5 unidades en la columna 2.
3. x22 = 5, se tacha la columna 2 y faltan 20 unidades en el renglón 2.
4. x23 = 15, se tacha la columna 3 y faltan 5 unidades en el renglon 2.
5. x24 = 5, se tacha el renglón 2 y faltan 5 unidades en la columna 4.
6. x34 = 5, se tacha el renglón 3 o la columna 4. Como sólo un renglón ouna columna se mantiene sin tachar, el proceso llega a su fin.
La solución básica inicial resultante se presenta a continuación.
Las variables básicas son x11 = 5, x22 =10, x23 =15, x24 =5 y x34 = 5. Las variables restantes son no básicas en el nivel cero. El costo de transporte asociado es:
5 x 10 +10 x 0 + 5 x 7+ 15 x 9 + 5 x 20 +5 x 18 = $410.
| 1 | 2 | 3 | 4 | ||
| 1 | 5 | 10 | 15 | ||
| 2 | 5 | 15 | 5 | 25 | |
| 3 | 5 | 5 | |||
| 5 | 15 | 15 | 10 |
Cuando se satisfacen al mismo tiempo una columna y un renglón, la siguiente variable que se agregará a la solución básica estará necesariamente en el nivel cero. La siguiente tabla ilustra este aspecto. La columna 2 y el renglón 2 se satisfacen simultáneamente.
| 1 | 2 | 3 | 4 | |||
| 1 | 5 | 5 | 10 | 5 | ||
| 2 | 5 | 0 | 5 | 0 | ||
| 3 | 8 | 7 | 15 | |||
| 5 | 10 | 8 | 7 | 15 | ||
| 5 |
Si se tacha la columna 2, x23 se vuelve básica en el nivel cero en el paso siguiente, ya que la demanda restante del renglón 2 vale ahora cero.(Este caso se presenta en la tabla anterior). Si en cambio se cruza el renglón 2, x32 sería la variable básica cero.
Las soluciones iniciales de las dos últimas tablas incluyen el número adecuado de variables básicas, o sea, m + n-1 = 6. La regla de la esquina noroeste produce siempre el número adecuado de variables básicas.
DETERMINACION DE LA VARIABLE DE ENTRADA
(METODO DE MULTIPLICADORES)
La variable que entra se determina mediante el uso de la condición de optimalidad del método simplex. Los cálculos de los coeficientes de la función objetivo están basados en las relaciones primales-duales. Primero presentamos la mecánica del método y después damos una explicación con base en la teoría de la dualidad. Otro método, llamado procedimiento Saltando Piedras, también sirve para determinar la variable que entra.
En el método de multiplicadores asociamos los multiplicadores ui y vj con el renglon i y la columna j de la tabla de transporte. Para cada variable basica xij ed la solucion actual, los multiplicadores ui y vj deben satisfacer la ecuacion que sigue:
ui + vj = cij , para cada variable basica xij
Estas ecuaciones producen m+n-1 ecuaciones con m+n incognitas. Los valores de los multilicadores se pueden determinar a partir de estas ecuaciones suponiendo un valor arbitrario para cualquiera de los multiplicadores y resolviendo las m+n-1 multipilicadores desconocidos restantes.
Al hacer esto, la evaluacion de cada variable no basica Xpq esta dada por:
Cpq = up – vq - cpq
Después se selecciona la variable que entra como la variable no basica con la variable no basica con la variable cpq mas positiva.
Si aplicamos este procedimiento a las variables no basicas estan dadas como:
| X11: | U1 | + | V1 | = | C11 | = | 10 |
| X12: | U1 | + | V2 | = | C12 | = | 0 |
| X22: | U2 | + | V2 | = | C22 | = | 7 |
| X23: | U2 | + | V3 | = | C23 | = | 9 |
| X24: | U2 | + | V4 | = | C24 | = | 20 |
| X34: | U3 | + | V4 | = | C34 | = | 18 |
Haciendo u1= 0 los valores de los multiplicadores se determinan sucesivamente como V1=10, V2=0, U2=7, V3=2, V4=13, y U3=5. Las evaluaciones de las variables no basicas estan dadas de la manera siguiente:
X13: c13 = u1 + v3 – c13 = 0+2-20 = -18
X14: c14 = u1+ v4 – c14 = 0+13-11 = 2
X21: c21 = u2 + v1 – c21 = 7+10-12 = 5
X31: c31 = u3+v1 – c3 = 5+10-0 = 15
X32: c32 = u3+v2 – c32 = 5+0-14 = -9
X33: c33 = u3 +v3 – c33 = 5+2-16 = -9
Como x31 tiene la variable cpq mas positiva, esta se selecciona como la variable que entra.
Las ecuaciones ui+vj = cij que utilizamos para determinar los multiplicadores, tienen una estructura tan sencilla que es necesario escribirlos en forma explicita.
DETERMINACION DE LA VARIABLE QUE SALE
(Construccion de un ciclo)
Este paso es equivalente a aplicar la condicion de factibilidad del metodo simplex.Sin embargo, como todos los coeficientes de restriccion del modelo de transportes original son cero o uno, las razones de condicion de factibilidad tendran siempre su denominador igual a uno .Por lo tanto los valores de las variables basicas producuran dirfectamente las razones asociadas.
Para el fin de determinar la razon minima, construimos un ciclo cerrado para la variable actual que entra. El ciclo empieza y termina en la variable no basica designada. Este consta de los segmentos sucesivos horizontales y verticales cuyos puntos extremos deben de ser variables basicas salvo para los puntos extremos que estan asociados con la variable que entra. Esto significa que todo elemento de esquina del ciclo debe ser una celda que contenga una variable basica. La tabla 6-10 ilustra un ciclo para la variable que entra dada en la solucion basica de la tabla 6-8.Observese que para la solucion basica dada solo se puede construir un ciclo unico para cada variable no basica.
La variable que sale se selecciona de entre las variables de esquina del ciclo que disminuiran cuando las variables del ciclo que entra aumente arriba del nivel cero. Estas situaciones se indican en la tabla siguiente a travez de las variables contenidas en el cuadro etiquetado con los signos menos.
| 1 | 2 | 3 | 4 | |||||
| 10 | 0 | 20 | 11 | 15 | ||||
| 5 - | 10 + | |||||||
| 12 | 7 | 9 | 20 | 25 | ||||
| 5 - | 15 | 5 + | ||||||
| 0 | 14 | 16 | 18 | 5 | ||||
| X 31 0 | 5 - | |||||||
| 5 | 15 | 15 | 10 | |||||
La solucion basica de la tabla de abajo es degenerada, ya que las variables basicas x11 y x22 son cero.Ahora se revisa la optimidad de la nueva solucion basica de la tabla 6-11 calculando los nuevos multiplicadores como se indica en la tabla 6-12. Los valores de cpq estan dados por los numeros de la esquina de cada celda no basicaLa variable no basica x21 con la variable cpq positiva mayor entra en la solucion. El ciclo cerrado asociado con x21 muestra que x21 o x22 pueden ser la variable que sale. Seleccionamos arbitrariamente x11 como la que sale de la solucion.
| 1 | 2 | 3 | 4 | ||||||
| 1 | 10 | 0 | 20 | 11 | 15 | ||||
| 0 | 15 | ||||||||
| 2 | 12 | 7 | 9 | 20 | 25 | ||||
| 0 | 15 | 10 | |||||||
| 3 | 0 | 14 | 16 | 18 | 5 | ||||
| 5 | |||||||||
| 5 | 15 | 15 | 10 | ||||||
| V1=10 | V2=0 | V3=2 | V4=13 | ||||||||||
| U1=0 | 10 | 0 | 20 | 11 | 15 | ||||||||
| 0 - | 15 + | -18 | +2 | ||||||||||
| U2=7 | 12 | 7 | 9 | 20 | 25 | ||||||||
| +5 | X 21 + | 0 - | 15 | 10 | |||||||||
| U3=-10 | 0 | 14 | 16 | 18 | 5 | ||||||||
| 5 | -24 | -24 | -15 | ||||||||||
| 5 | 15 | 15 | 10 | ||||||||||
La tabla de arriba muestra la nueva solucion basica que sigue de la tabla siguiente. Los nuevos valores de ui, vj y cpq se vuelven a calcular. La tabla muestra la variable que entra y la que sale como x14 y x24, respectivamente.
Al efectuar este cambio en la tabla de abajo obtenemos la nueba solucion de la tabla final. Como todas las variables cpq de la tabla final son no positivas se ha llegado a la solucion optima.
| V1=5 | V2=0 | V3=2 | V4=13 | ||||||||||
| U1=0 | 10 | 0 | 20 | 11 | 15 | ||||||||
| -5 | 15 - | -18 | +2 | X 14 + | |||||||||
| U2=7 | 12 | 7 | 9 | 20 | 25 | ||||||||
| 0 | 0 + | 15 | 10 - | ||||||||||
| U3=-5 | 0 | 14 | 16 | 18 | 5 | ||||||||
| 5 | -19 | -19 | -10 | ||||||||||
| 5 | 15 | 15 | 10 | ||||||||||
| V1=5 | V2=0 | V3=2 | V4=11 | |||||||||||
| U1=0 | 10 | 0 | 20 | 11 | 15 | |||||||||
| -5 | 5 | -18 | 10 | |||||||||||
| U2=7 | 12 | 7 | 9 | 20 | 25 | |||||||||
| 0 | 10 | 15 | -2 | |||||||||||
| U3=-5 | 0 | 14 | 16 | 18 | 5 | |||||||||
| 5 | -19 | -19 | -12 | |||||||||||
| 5 | 15 | 15 | 10 | |||||||||||
EXPLICACION DEL METODO DE MULPIPLICADORES CON UN METODO SIMPLEX
La relecion que existe entre el metodo multiplicadores y el metodo simplex se puede establecer demostrando que cpq según se define, es igual directamente a los coeficientes de la funcion objetivo de la tabla simplex asociada con la iteracion actual.
Para mostrar como se obtiene el problema dual para el metodo de transporte, considerese primero el caso especial de ,=2 y n=3 que se indica en la tabla 6-15. Sean las variables duales u1 y u2 para las restricciones de las fuentes y v1,v2, y v3 para las restricciones de los destinos. El problema dual se convierte en:
Maximizar w = (a1u1+a2u2) + (b1v1+b2v2+b3v3)
Sujeto a:
U1 +v1 <= c11
U1 +v2 <=c12
U1 +v3 <=c13
U2+v1 <=c21
U2+v1 <=c22
U2 +v3 <=c23
Ui, U2, v1, v2, v3, irrestrictas
El problema dual correspondiente esta dado por:
Maximizar w = åm i-1 a1 u1 + ån bi vj
sujeto a:
ui + vj <=cij para todas las i y j
ui y vj irrestrictas
La evaluacion de las variables no basicas se determinan mediante la sustitucion de los valores actuales de las variables duales en las restricciones duales y despues tomando la diferencia entre sus miembros primero y segundo. Los valores de las variables duales se pueden determinar observando que las restricciones deuales correspondientes a una variable basica se deben satisfacer como ecuaciones escritas.
En realidad en la iteracion optima los multiplicadores producen los valores duales optimos directamente.
En lo antes expuesto se asigna un valor arbitrario a una de las variables duales que indica que los multiplicadores simplex asociados con una solucion basica dada no son unicos. Esto puede parecer inconsistente con los resultados donde los multiplicadores deben ser unicos.
SOLUCION INICIAL MEJORADA
En esta seccion presentamos dos procedimientos que determinan la solucion inicial a travez de la seleccion de las rutas “economicas”del modelo.
A. MODELO DEL COSTO MINIMO
Asignese el mas grande valor posible a la variable con el menor costo unitario de toda la tabla. Tachese el renglon o columna satisfecho.Despues de ajustar la oferta y la demanda de todos los renglones y columnas no tachados, repitase el proceso asignando el valor mas grande posible a la variable con el costo unitario no tachado mas pequeño. El procedimiento esta completo cuando queda exactamente un rebglon o bien una columna sin tachar.
| 1 | 2 | 3 | 4 | ||||||
| 1 | 10 | 0 | 20 | 11 | 15 | ||||
| 0 | 15 | 0 | |||||||
| 2 | 12 | 7 | 9 | 20 | 25 | ||||
| 15 | 10 | ||||||||
| 3 | 0 | 14 | 16 | 18 | 5 | ||||
| 5 | |||||||||
| 5 | 15 | 15 | 10 | ||||||
B. METODO DE APROXIMACION DE VOGEL (VAM)
Este metodo es heuristico y suele producir una mejor solucion inicial que los dos metodos antes descritos. De hecho, VAM suele producir una solucion inicial optima, o proxima al nivel optimo.
Los pasos del procedimiento son los siguientes:
Paso1: Evaluese una penalizacion para cada renglon restando el menor elemento del costo del renglon del elemento de costo menor siguiente en el mismo renglon.
Paso2: Identifiqueze el renglon o columna con la mayor penalizacion, rompiendo empates en forma arbitraria. Asignese el valor mayor posible a la variable con el costo mas bajo del renglon o columna seleccionado. Ajustese la oferta y la demanda y tachese el renglon o columna satisfecho. Si un renglon o columna se satisfacen al mismo tiempo, solo uno de ellos se tacha y al renglon restante se le asigna una oferta cero.Cualquier renglon o columna con oferta o demanda cero no debe utilizarce para calcular penalizaciones futuras.
Paso 3:
a.-si solo hay un renglon o columna sin tachar, detengase.
b.-si solo hay un renglon conoferta positiva sin tachar, determinense las variables basicas del renglon a travez del metodo del costo minimo.
c.-si todos los renglones y columnas sin tachar tienen oferta o demanda cero asignadas, determinese las variables basicas cero a travez del metodo del costo minimo. Detengase.
d.-de lo contrario, calculense las penalizaciones de las renglones y columnas no tachados y despues dirijase al paso 2.
| 1 | 2 | 3 | 4 | PR | ||||||
| 1 | 10 | 0 | 20 | 11 | 15 | 10 | ||||
| 2 | 12 | 7 | 9 | 20 | 25 | 2 | ||||
| 3 | 0 | 14 | 16 | 18 | 5 | 14 | ||||
| 5 | ||||||||||
| PC | 5 | 15 | 15 | 10 | ||||||
| 10 | 7 | 7 | 7 | |||||||
PR = Penalización de Renglón
PC = Penalización de Columna
| 1 | 2 | 3 | 4 | PR | ||||||||
| 1 | 10 | 0 | 20 | 11 | 15 | 11 | ||||||
| 2 | 12 | 7 | 9 | 20 | 25 | 10 | 2 | |||||
| 15 | ||||||||||||
| 3 | 0 | 5 | 0 | - | ||||||||
| 5 | ||||||||||||
| PC | 5 | 15 | 15 | 10 | ||||||||
| - | 7 | 11 | 9 | |||||||||
Se han presentado varios métodos para obtener una solución al problema de transporte u otro semejante. Una consideración muy importante que hay que tener en cuenta con cualquier método que se utilice, es que el problema de transporte no siempre puede aislarse y resolverse dentro de sus propios límites. El transporte es tan sólo una parte de todo el sistema de distribución de la compañía. Es muy difícil resolver el mejor programa de transporte en términos de servicio y bajo costo. Esa área de la empresa requiere de una constante atención para incorporar los cambios que constituyan y una difícil tarea para cualquier grupo de investigaciones de negocios.
Introducción al modelo de asignación.
Los problemas de asignación presentan una estructura similar a los de transporte, pero con dos diferencias: asocian igual número de origenes con igual número de demandas y las ofertas en cada origen es de valor uno, como lo es la demanda en cada destino.
Los problemas de asignación presentan una estructura similar a los de transporte, pero con dos diferencias: asocian igual número de origenes con igual número de demandas y las ofertas en cada origen es de valor uno, como lo es la demanda en cada destino.
El problema de asignación debe su nombre a la aplicación particular de asignar hombres a trabajos ( o trabajos a máquinas), con la condición de que cada hombre puede ser asignado a un trabajo y que cada trabajo tendrá asignada una persona.
La condición necesaria y suficiente para que este tipo de problemas tenga solución, es que se encuentre balanceado, es decir, que los recursos totales sean iguales a las demandas totales.
La condición necesaria y suficiente para que este tipo de problemas tenga solución, es que se encuentre balanceado, es decir, que los recursos totales sean iguales a las demandas totales.
El modelo de asignación tiene sus principales aplicaciones en: Tabajadores, Oficinas al personal, Vehículos a rutas, Máquinas, Vendedores a regiones, productos a fabricar, etc.
1. RESTE EL VALOR MÁS PEQUEÑO DE LA FILA EN CADA UNA DE LAS FILAS
2. RESTE EL VALOR MAS PEQUEÑO EN LA COLUMNA DE CADA UNA DE LAS COLUMNAS.
3. TRAZAR SEGMENTOS: Este es el criterio de decisión de asignación, es decir
A) Sí el número de segmentos es = m, entonces podemos asignar, recuerda que m=n asignaciones. Un Segmento es una línea vertical u Horizontal que se va a trazar a lo largo de toda la fila o toda la columna, no se pueden trazar segmentos en forma diagonal.
B) Caso contrario ir al paso 4
2. RESTE EL VALOR MAS PEQUEÑO EN LA COLUMNA DE CADA UNA DE LAS COLUMNAS.
3. TRAZAR SEGMENTOS: Este es el criterio de decisión de asignación, es decir
A) Sí el número de segmentos es = m, entonces podemos asignar, recuerda que m=n asignaciones. Un Segmento es una línea vertical u Horizontal que se va a trazar a lo largo de toda la fila o toda la columna, no se pueden trazar segmentos en forma diagonal.
B) Caso contrario ir al paso 4
4. ATENDER LOS SIGUIENTES INCISOS:
A) Seleccione la posición del dato menor de los no segmentados y restelo a los no segmentados, (esto hará que se generen nuevos ceros)
B) Localizar los datos en donde se INTERSECTAN los segmentos, y sumar el dato menor seleccionado.
C) El resto de los datos segmentados quedan EXACTAMENTE igual.
B) Localizar los datos en donde se INTERSECTAN los segmentos, y sumar el dato menor seleccionado.
C) El resto de los datos segmentados quedan EXACTAMENTE igual.
5. REPITA EL PASO 3
Casos especiales del modelo de asignación
*Oferta y demanda desiguales.
Cuando la oferta y la demanda son desiguales, se asigna una actividad ficticia con un costo de cero para mantener la condición de método que deben ser igual número de ofertas y demandas
*Problemas de maximización.
Considere un problema de asignación en el que la respuesta a cada asignación es una utilidad en vez de un costo. Considere la matriz de utilidades del problema como la característica nueva la cual consiste en que el número que aparece en cada celdilla representa un beneficio en lugar de un costo.
*Problemas con asignación inaceptable.
Supóngase que se está resolviendo un problema de asignación y que se sabe que ciertas asignaciones son inaceptables. Para alcanzar esta meta, simplemente asigna un costo arbitrariamente grande representado mediante la letra M . M es un número tan grande que si se le resta un número finito cualquiera, queda todavía un valor mayor que los demás.
Cuando la oferta y la demanda son desiguales, se asigna una actividad ficticia con un costo de cero para mantener la condición de método que deben ser igual número de ofertas y demandas
2. Problemas de maximización.
Considere un problema de asignación en el que la respuesta a cada asignación es una utilidad en vez de un costo. Considere la matriz de utilidades del problema como la característica nueva la cual consiste en que el número que aparece en cada celdilla representa un beneficio en lugar de un costo.
3. Problemas con asignación inaceptable.
Supóngase que se está resolviendo un problema de asignación y que se sabe que ciertas asignaciones son inaceptables. Para alcanzar esta meta, simplemente asigna un costo arbitrariamente grande representado mediante la letra M . M es un número tan grande que si se le resta un número finito cualquiera, queda todavía un valor mayor que los demás.
La ruta más corta
Un algoritmo clásico de Investigación de Operaciones es el de La Ruta más Corta, usado por ejemplo para encontrar en una serie de ciudades conectadas por carreteras, la ruta para llegar de una ciudad a otra, siguiendo una trayectoria mínima. Existen dos tipos principales de algoritmos: Cíclicos y Acíclicos. Los algoritmos Acíclicos son usados en redes que no tienen ciclos, es decir que no tienen rutas que partiendo de un nodo lo lleven a él mismo de nuevo. Los ciclos son también llamados "lazos".
Los algoritmos cíclicos son para las redes que tienen ciclos o lazos... o en español vueltas en redondo. Un ejemplo de un lazo: Si del nodo "A" puedo ir al nodo "B", y del nodo "B" puedo ir al "C" y del "C" al "D" y del "D" puedo retornar al "A" de nuevo, ahí hay un lazo o un ciclo. Las flechas indican en que sentido esta permitido el movimiento.
Algoritmo Acíclico:
Si la red no tiene ciclos, apliquemos el siguiente algoritmo:
Etiquetar cada nodo con el siguiente formato [distancia desde el nodo inicial, Nombre del Nodo Precedente]. Para el nodo inicial por definición la distancia es cero (la distancia a sí mismo), y el nodo precedente es vacío (ninguno): [0 , ] . Después para cada nodo, se analiza los nodos que lo preceden por las flechas, se escoge aquel cuya distancia al nodo inicial más la distancia al nodo presente sea mínima. Se etiqueta con la suma, y el nombre del nodo escogido... bueno, esto en carreta es muy enredador... mejor con un ejemplo, paso a paso.
Consideremos la siguiente red:
Los nodos pueden representan sitios (p.e ciudades, facilidades, etc) las flechas (también llamadas Arcos) indican las trayectorias permitidas y sobre ellas están las distancias (pero también puede representar el costo de desplazamiento, o el nivel de riesgo, o un producto de ambos).
Encontremos la distancia más corta entre el nodo "A" y el nodo "G".
1. Rotular el Nodo Inicial : Recordemos el formato del rótulo es : [distancia al primer nodo, nodo precedente]. La distancia al primer nodo, es la distancia a sí mismo en éste caso, por lo tanto es cero. El nodo precedente: como no viene de ningún nodo, lo rotulamos vacio: [ 0, ] :
2. Rotular todos los nodos que dependan unicamente del nodo inicial:
A el Nodo B se puede llegar desde el Nodo A, con la ruta A-C-B o con la ruta A-D-C-B. Asi que depende de otros nodos a parte del Nodo inicial. Lo mismo podemos decir del Nodo C. Pero...
... Pero al Nodo D sólo se puede llegar directamente desde el Nodo A. Este es el nodo que vamos a rotular, y si hubieran más como él también los rotulariamos, pero en este ejemplo sólo tenemos el D.
El rótulo del Nodo D, es : [distancia mínima desde el Nodo Inicial, Nodo Precedente]. La distancia mínima desde el Nodo Inicial al Nodo D es 15: pos no hay otra alternativa, che! y el Nodo Precedente el "A". Rótulo: [15, "A"]
3. Rotular Todos los Nodos que tengan la información suficiente para rotularlos:
La información necesaria para rotular un Nodo con este algoritmo, es que todos los Nodos de los que dependa, deben estar ya rotulados. Por ejemplo el Nodo B: depende del A y del C. El Nodo A ya esta rotulado, pero el C aún no. Así que aún no se puede rotular el Nodo B. El Nodo C depende del A y del D, y ambos estan rotulados, así que si podemos rotularlo. La distancia desde A es 8, y desde D es: la distancia que tiene en el rótulo (que es la distancia mínima desde él al Nodo inicial, o sea 15), MAS la distancia entre D y C = 15 +4 = 19: entre 8 y 19 es más pequeño 8. Así que escogemos el Nodo A como precedente: el rótulo es [ 8 , "A"]
4. Seguir rotulando todos los Nodos que tengan información suficiente hasta llegar al Nodo deseado:
G. Ahora ya hay información suficiente para rotular los Nodos B y F. Entonces rotulemos el Nodo B (no importa cuál se haga primero, igual hay que rotularlos todos). El rotulo para el Nodo B: La distancia desde A es 10, la distancia mínima al Nodo inicial desde C es: el la distancia del rótulo de C: 8 + la distancia de C a B : 3 => 8 + 3 = 11. El mínimo entre 10 y 11 es 10. Rótulo= [10, "A"].
Rótulo para el F: Desde C : 8 + 4 = 12 y desde D : 15 + 15 = 30. Entonces el Rótulo es [12, "C" ]
Rótulo para el Nodo E: Desde B : 10 + 20 = 30 y desde C: 8 + 15 = 23 Rótulo : [23,"C"]
Por último para el Nodo G: la distancia desde E es 23 + 5 = 28 y desde F es 12 + 3 = 15 Rótulo [15, F]
Ahora se puede leer la trayectoria mínima partiendo del rótulo del Nodo G, dicho rotulo nos dice que viene del F el de F dice que viene del C y el del C dice que viene del A. Solución: Distancia Mínima= 15 Ruta Más Corta = A-C-F-G
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